2018年金融硕士考研冲刺：两矩阵特征值解析！

可以确定行列式和迹等式； 无法判定等级相等，无法判定A～B（相似），A与B一致。

① 因为|A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以|A|=|B|，tr(A)=tr(B)。

② 具有特征值λ并不意味着A可以~Λ。

③若A～Λ，则可推导出r(A)=非0λ数。

④ 合约要求实数对称矩阵（考研范围内），不保证λ相等。

【反例】：本例中，r(A)≠r(B)，同样不可对角化，也不是实对称矩阵（不可收缩）。

1.1 实对称矩阵A和B的特征值相同

实对称矩阵一定是可对角化的，因此可以看出A和B相似于同一个对角矩阵，即A~Λ~B。

并且由于真实对称性，逆=转置，这也是同一个契约。

2.二次型的标准型 2.1 标准型是否唯一？

不是唯一的。在这种情况下

寻求

所以

，标准类型的结果会有所不同。

2.2 标准形式和等级

标准型的项数是一定的，这个数就是非零系数，即正负惯量指数； 正负惯量指数之和即为二次形式的秩，即

。

注：如果A可以类似地对角化，那么秩就是非零特征值的个数（正负惯量指数之和）。

2.3 标准类型和特征值

。

可逆线性变换不会改变正负惯量指数。 变换后得到的标准形式的对角线元素不一定是特征值！ 虽然二次形式可以通过可逆线性变换（组合方法）转化为这样的对角矩阵，但是标准形式有很多，即这样的对角矩阵有很多； 特征值是确定的，因此这些可逆线性变换对于任何得到的标准形式都无法得到特征值。

如何求特征值：因为这些标准形式与特征值无关，所以你不能根据它们写出特征多项式。 相反，您应该回到原始的二次形式（实对称矩阵 A）并使用特征方程。

经典陷阱：如果两个二次形式的标准形式相同，则两个二次形式对应的矩阵的特征值相同（

）

2.4 正交变换和特征值

正交变换是在特征值的基础上进行的，得到的结果的标准形式是特征值拼出的对角矩阵。 在众多可逆线性变换中，只有正交变换得到的标准形式和对角线元素才是特征值。

2.5 两个二次形式的标准形式相同

决定什么？ 可以确定惯性指数相同，即二次平方项的正负系数个数相等，或者正负特征值个数相同。

不确定什么？ 无法确定特征值。

3. 二次型的正则形式 3.1 正则形式是否唯一？

，因为惯性定理决定了，对于同一个二次型的不同标准型，正负惯性指数p和q是一定的两矩阵相似的充要条件，而正则型的系数只有1、-1、0。说到这里的唯一性此时，不考虑二次型变量的阶数。 例如可以规定写入顺序为1、-1、0。

3.2 标准型和标准型

同一规范类型可能有多个标准类型。

同一标准类型不能对应多个标准类型。 因为标准型的惯量指标是确定的。

3.3 规范类型和契约（必要条件和充分条件）

两个二次形式（或实对称矩阵）契约的充分必要条件是它们具有相同的正负惯量指数，或者具有相同的秩和正（负）惯量指数。

也就是说，对应于同一规范类型的不同矩阵是契约式的。

4. 等价、相似和契约（★）

（类似，合同条件更高）

相似一定是等价的，但等价不一定是相似的。 （矩阵相似度是秩相等的充分但非必要条件）

合同必须具有同等价值，但平等并不一定意味着合同。 （等价秩相同但可能不是实对称矩阵）

（当使用正交变换得到的相似度或契约时，相似度与契约一致）

正交变换后，如果两个矩阵相似，则它们一定是一致的。

正交变换后，如果两个矩阵一致，则它们一定相似。

一般矩阵不适用。但是实对称矩阵必须类似对角化，所以当特征值相同时，A~B也相同。

如果它们相似，则它们的特征值相同，因此如果p和q相同，则契约一定是可能的。

如果合约保证正负系数的个数相同，虽然相似度可以对角化，但各自的具体特征值不一定相同，因此不能推论A和B相似。

【例子】对角矩阵2E与单位矩阵E相同，E只能与E相似。显然2E与E不相似（因为特征值不同）。

注意：普通矩阵并没有说相似度一定有契约，因为我们只有在对称矩阵的时候才讨论契约。

5.补充实对称矩阵A及其逆契约

可逆性以及是否可以类似地对角化

矩阵A是可逆的，其秩为n。 因为矩阵的秩与它是否有n个线性独立的特征向量无关，所以它不一定是类似对角化的。

例如，如果一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,0，那么该矩阵一定是对角的，有3个线性独立的特征向量，但它只有2个非零特征值，所以对角矩阵有排名为 2，而不是 3

再比如两矩阵相似的充要条件，一个三阶矩阵有3个不同的特征值2、1、3。那么该矩阵必须可对角化，并且必须有3个线性无关的特征向量。 它有 3 个非零特征值，其秩为 3

线性方程组 Ax=0 有 n 个线性独立的解向量。 矩阵A的列是满秩的，方程组的唯一解为0。我们需要从线性方程组的角度来看是否可以类似地对角化的问题。